Alle Ableitungsregeln, die du für die Schule brauchst — übersichtlich und mit Beispielen.
Grundregel: Potenzregel
Für f(x) = xⁿ gilt: **f'(x) = n · xⁿ⁻¹**
- f(x) = x³ → f'(x) = 3x²
- f(x) = x⁵ → f'(x) = 5x⁴
- f(x) = x → f'(x) = 1
- f(x) = 7 → f'(x) = 0 (Konstante!)
Faktorregel
Für f(x) = a · g(x) gilt: **f'(x) = a · g'(x)**
- f(x) = 5x³ → f'(x) = 5 · 3x² = 15x²
Summenregel
Für f(x) = g(x) + h(x) gilt: **f'(x) = g'(x) + h'(x)**
- f(x) = x³ + 4x → f'(x) = 3x² + 4
Produktregel
Für f(x) = u(x) · v(x) gilt: **f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)**
Beispiel: f(x) = x² · sin(x) - u = x² → u' = 2x - v = sin(x) → v' = cos(x) - f'(x) = 2x · sin(x) + x² · cos(x)
Quotientenregel
Für f(x) = u(x) / v(x) gilt: **f'(x) = (u'(x)·v(x) − u(x)·v'(x)) / v(x)²**
Beispiel: f(x) = x / (x+1) - u = x → u' = 1 - v = x+1 → v' = 1 - f'(x) = (1·(x+1) − x·1) / (x+1)² = 1/(x+1)²
Kettenregel
Für f(x) = g(h(x)) gilt: **f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)**
Beispiel: f(x) = (3x + 1)⁴ - Äußere: g(z) = z⁴ → g'(z) = 4z³ - Innere: h(x) = 3x + 1 → h'(x) = 3 - f'(x) = 4(3x+1)³ · 3 = 12(3x+1)³
Wichtige Stammfunktionen
| Funktion | Ableitung | |----------|-----------| | xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | | eˣ | eˣ | | eᵃˣ | a·eᵃˣ | | ln(x) | 1/x | | sin(x) | cos(x) | | cos(x) | −sin(x) | | tan(x) | 1/cos²(x) | | √x | 1/(2√x) |
Tipp für die Klausur
Schreibe dir auf einen Karteikarten-Satz welche Regel wann angewendet wird. Bei verschachtelten Funktionen: „von außen nach innen" ableiten!