Analysis ist der Kern der Oberstufenmathematik. Hier sind die Grundlagen, die du beherrschen musst.
Grenzwerte
Der Grenzwert beschreibt, wohin eine Funktion strebt:
- lim(x→∞) 1/x = 0
- lim(x→0) sin(x)/x = 1
Ableitungen
Grundregeln
- Potenzregel: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
- Konstante: (c)' = 0
- Faktorregel: (c·f)' = c·f'
- Summenregel: (f+g)' = f' + g'
- Produktregel: (f·g)' = f'·g + f·g'
- Kettenregel: f(g(x))' = f'(g(x))·g'(x)
Ableitungen wichtiger Funktionen
| f(x) | f'(x) | |------|-------| | xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | | eˣ | eˣ | | ln(x) | 1/x | | sin(x) | cos(x) | | cos(x) | -sin(x) |
Kurvendiskussion
1. Definitionsbereich bestimmen 2. Nullstellen (f(x) = 0) 3. Ableitung berechnen 4. Extrempunkte (f'(x) = 0, Vorzeichenwechsel) 5. Wendepunkte (f''(x) = 0) 6. Monotonieverhalten 7. Grenzverhalten 8. Graph skizzieren
Integralrechnung
Grundregeln
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
- ∫ eˣ dx = eˣ + C
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C
Bestimmtes Integral
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)
Das bestimmte Integral berechnet die Fläche zwischen Graph und x-Achse.
e-Funktionen
f(x) = a · eᵇˣ
- Wachstum: b > 0
- Zerfall: b < 0
- Verdopplungszeit: t = ln(2)/b
- Halbwertszeit: t = ln(0,5)/b