Die Kurvendiskussion ist DER Klassiker in der Oberstufe. Hier lernst du jeden Schritt.
Die komplette Kurvendiskussion
Am Beispiel: f(x) = ⅓x³ − 2x
Schritt 1: Definitionsbereich f ist definiert für alle reellen Zahlen: D = ℝ
Schritt 2: Symmetrie f(−x) = ⅓(−x)³ − 2(−x) = −⅓x³ + 2x = −f(x) → **Punktsymmetrisch zum Ursprung**
Schritt 3: Nullstellen f(x) = 0: ⅓x³ − 2x = 0 → x(⅓x² − 2) = 0 - x₁ = 0 - ⅓x² = 2 → x² = 6 → x₂ = √6 ≈ 2,45, x₃ = −√6 ≈ −2,45
Schritt 4: Ableitungen f'(x) = x² − 2 f''(x) = 2x f'''(x) = 2
Schritt 5: Extremwerte f'(x) = 0: x² − 2 = 0 → x = ±√2
Bei x = √2 ≈ 1,41: f''(√2) = 2√2 > 0 → **Minimum** f(√2) = ⅓·2√2 − 2√2 = −4√2/3 ≈ −1,89
Bei x = −√2: f''(−√2) = −2√2 < 0 → **Maximum** f(−√2) = 4√2/3 ≈ 1,89
Schritt 6: Wendepunkte f''(x) = 0: 2x = 0 → x = 0 f'''(0) = 2 ≠ 0 → **Wendepunkt bei (0|0)**
Schritt 7: Verhalten im Unendlichen lim(x→+∞) f(x) = +∞ lim(x→−∞) f(x) = −∞
Schema für jede Funktion
1. Definitionsbereich 2. Symmetrie prüfen 3. Nullstellen berechnen 4. Ableitungen bilden 5. Extremwerte (f' = 0, f''-Test) 6. Wendepunkte (f'' = 0, f'''-Test) 7. Grenzverhalten 8. Graph skizzieren
Übungsaufgabe
Führe eine Kurvendiskussion durch für f(x) = x⁴ − 4x²
*Tipp: Beachte, dass f'' hier ein quadratischer Term ist!*