Die e-Funktion ist eine der wichtigsten Funktionen in der Oberstufe. Hier lernst du alles Wichtige.
Die Eulersche Zahl e
e ≈ 2,718281828...
e = lim(n→∞) (1 + 1/n)ⁿ
Besonderheit: Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung!
Die e-Funktion
f(x) = eˣ f'(x) = eˣ
Allgemeine Form f(x) = a · eᵇˣ⁺ᶜ + d
- a: Streckung in y-Richtung
- b: Wachstumsrate
- c: Verschiebung in x
- d: Verschiebung in y
Beispiel: f(x) = 3e²ˣ⁻¹ + 4 f'(x) = 3 · 2 · e²ˣ⁻¹ = 6e²ˣ⁻¹
Der natürliche Logarithmus (ln)
ln(x) ist die Umkehrfunktion von eˣ.
**ln(eˣ) = x** und **e^(ln x) = x**
Rechenregeln - ln(a·b) = ln(a) + ln(b) - ln(a/b) = ln(a) − ln(b) - ln(aⁿ) = n·ln(a) - ln(1) = 0, ln(e) = 1
Ableitung (ln x)' = 1/x
Exponentielles Wachstum
**N(t) = N₀ · eᵏᵗ** - N₀: Anfangswert - k: Wachstumskonstante (k>0: Wachstum, k<0: Zerfall) - t: Zeit
Beispiel: Bakterienwachstum N₀ = 100, verdoppelt sich alle 3 Stunden: - N(t) = 100 · e^(ln2/3 · t) - Nach 10 Stunden: N(10) = 100 · e^(10·ln2/3) ≈ 1016
Halbwertszeit
t½ = ln(2) / |k|
Typische Klausuraufgaben
1. Nullstellen von f(x) = 2eˣ − 8 2. Extremwerte von f(x) = x·eˣ 3. Wachstumsaufgabe mit Halbwertszeit
Lösung zu 1: 2eˣ = 8 → eˣ = 4 → x = ln(4) ≈ 1,386
Lösung zu 2: f'(x) = eˣ + x·eˣ = eˣ(1+x) = 0 Da eˣ > 0: x = −1 f(−1) = −1/e ≈ −0,368 (Minimum)
Übung
f(x) = x² · e⁻ˣ. Bestimme Nullstellen und Extremwerte.
*Lösung: NS bei x=0 und NS mit e⁻ˣ nie 0 also nur x=0; Extrema bei x=0 (Min) und x=2 (Max)*