Lineare Gleichungssysteme lösen: Einsetzungs-, Gleichungs- und Additionsverfahren
Lineare Gleichungssysteme (LGS) kommen in fast jeder Klassenstufe vor. Hier lernst du alle Lösungsverfahren.
Was ist ein LGS?
Mehrere Gleichungen mit mehreren Variablen, die gleichzeitig gelten sollen.
Beispiel: - 2x + y = 7 (I) - x − y = 2 (II)
Verfahren 1: Einsetzungsverfahren
1. Eine Gleichung nach einer Variable auflösen 2. In die andere einsetzen
Beispiel: Aus (II): x = 2 + y In (I): 2(2+y) + y = 7 → 4 + 2y + y = 7 → 3y = 3 → y = 1 x = 2 + 1 = 3
**Lösung: x = 3, y = 1**
Verfahren 2: Gleichsetzungsverfahren
Beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen, gleichsetzen.
Aus (I): y = 7 − 2x Aus (II): y = x − 2
7 − 2x = x − 2 → 9 = 3x → x = 3, y = 1
Verfahren 3: Additionsverfahren
Gleichungen so addieren, dass eine Variable wegfällt.
(I) + (II): 3x = 9 → x = 3 In (II): 3 − y = 2 → y = 1
Mit 3 Variablen
Drei Gleichungen, drei Unbekannte: - 2x + y − z = 3 (I) - x + 2y + z = 7 (II) - x − y + 2z = 5 (III)
**Strategie:** Variable eliminieren bis nur noch eine übrig bleibt.
1. (I)+(II): 3x + 3y = 10 (IV) 2. 2·(II)+(III): 3x + 3y = 19 (V) 3. (IV) und (V) widersprechen sich → Keine Lösung!
(Dieses Beispiel zeigt: Nicht jedes LGS hat eine Lösung.)
Lösbarkeit
- **Genau eine Lösung:** Eindeutig lösbar
- **Keine Lösung:** Widersprüchlich (z.B. 0=1)
- **Unendlich viele Lösungen:** Lineare Abhängigkeit
Übungsaufgaben
1. 3x + 2y = 12 und x − y = 1 2. 2a + b = 5 und a + 3b = 10
*Lösungen: 1) x=14/5, y=9/5 | 2) a=1, b=3*