Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Ableitung. Hier lernst du alles Wichtige.
Was ist ein Integral?
Das Integral berechnet die **Fläche** unter einer Kurve. Es ist die Umkehrung der Ableitung.
Die Stammfunktion
Wenn F'(x) = f(x), dann ist F die Stammfunktion von f.
Regel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (für n ≠ −1)
Beispiele: - ∫ x³ dx = x⁴/4 + C - ∫ 5x² dx = 5x³/3 + C - ∫ 7 dx = 7x + C
Das bestimmte Integral
∫[a bis b] f(x) dx = F(b) − F(a)
Beispiel: ∫[1 bis 3] x² dx 1. Stammfunktion: F(x) = x³/3 2. F(3) − F(1) = 27/3 − 1/3 = 26/3 ≈ 8,67
Flächenberechnung
Die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse: **A = ∫[a bis b] |f(x)| dx**
Wichtig: Betrag nicht vergessen! - f(x) > 0: Normale Integration - f(x) < 0: Fläche ist positiv (Betrag!) - f wechselt Vorzeichen: Nullstellen bestimmen, getrennt integrieren
Beispiel: Fläche unter f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2
A = ∫[0 bis 2] x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2,67 FE
Integrationsregeln
Linearität ∫(a·f(x) + b·g(x)) dx = a·∫f(x) dx + b·∫g(x) dx
Substitution Für ∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du mit u = g(x)
Beispiel: ∫ 2x·(x²+1)³ dx - u = x² + 1, du = 2x dx - ∫ u³ du = u⁴/4 + C = (x²+1)⁴/4 + C
Partielle Integration ∫ u·v' dx = u·v − ∫ u'·v dx
Rotationsvolumen (Oberstufe)
V = π · ∫[a bis b] (f(x))² dx
Übungsaufgaben
1. ∫ (3x² + 2x − 1) dx 2. ∫[0 bis 1] (4x³) dx 3. Fläche zwischen f(x) = x² − 4 und der x-Achse
*Lösungen: 1) x³ + x² − x + C | 2) 1 | 3) 32/3 FE*