Lineare Algebra Einstieg: Vektoren, Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Lineare Algebra ist ein zentrales Thema der Oberstufe. Hier ist dein Einstieg.

Vektoren

Ein Vektor beschreibt eine gerichtete Größe: a⃗ = (a₁, a₂, a₃)

Grundoperationen

• Addition: a⃗ + b⃗ = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
• Skalarmultiplikation: k · a⃗ = (k·a₁, k·a₂, k·a₃)
• Betrag: |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Skalarprodukt

a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Anwendung: Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen: cos(α) = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|)

Kreuzprodukt

a⃗ × b⃗ ergibt einen Vektor senkrecht zu beiden.

Geraden im Raum

Parameterform: g: x⃗ = a⃗ + t · b⃗

• a⃗ = Stützvektor (Punkt auf der Geraden)
• b⃗ = Richtungsvektor

Schnittpunkt: Zwei Geraden gleichsetzen und lösen.

Ebenen

• Parameterform: E: x⃗ = a⃗ + s·b⃗ + t·c⃗
• Normalenform: (x⃗ - a⃗) · n⃗ = 0
• Koordinatenform: n₁x + n₂y + n₃z = d

Lineare Gleichungssysteme

Lösungsverfahren: 1. Einsetzungsverfahren 2. Gleichsetzungsverfahren 3. Additionsverfahren 4. (Gauß-Verfahren für 3+ Gleichungen)

Lagebeziehungen

• Gerade-Gerade: Schnittpunkt, parallel, windschief
• Gerade-Ebene: Schnittpunkt oder parallel
• Ebene-Ebene: Schnittgerade, parallel, identisch