Quadratische Gleichungen gehören zu den wichtigsten Aufgabentypen in der Schule. Hier lernst du alle Lösungsmethoden.
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine Gleichung der Form **ax² + bx + c = 0** mit a ≠ 0.
Beispiele: - x² − 5x + 6 = 0 - 2x² + 3x − 2 = 0 - x² − 9 = 0
Methode 1: pq-Formel
Für Gleichungen in Normalform x² + px + q = 0:
**x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)**
Beispiel: x² − 5x + 6 = 0
- p = −5, q = 6
- x₁,₂ = 5/2 ± √(25/4 − 6)
- x₁,₂ = 2,5 ± √(0,25)
- x₁,₂ = 2,5 ± 0,5
- **x₁ = 3, x₂ = 2**
Probe: 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓
Methode 2: Mitternachtsformel (abc-Formel)
Für ax² + bx + c = 0:
**x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)**
Beispiel: 2x² + 3x − 2 = 0
- a = 2, b = 3, c = −2
- D = 9 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25
- x₁,₂ = (−3 ± 5) / 4
- **x₁ = 0,5, x₂ = −2**
Methode 3: Satz von Vieta
Wenn x₁ und x₂ die Lösungen sind: - x₁ + x₂ = −b/a - x₁ · x₂ = c/a
Perfekt zum schnellen Raten bei einfachen Gleichungen!
Die Diskriminante D = b² − 4ac
- **D > 0**: Zwei reelle Lösungen
- **D = 0**: Eine (doppelte) Lösung
- **D < 0**: Keine reelle Lösung
Übungsaufgaben
1. x² − 7x + 12 = 0 2. 3x² − 12 = 0 3. x² + 4x + 4 = 0
*Lösungen: 1) x=3, x=4 | 2) x=2, x=−2 | 3) x=−2 (doppelt)*