Trigonometrie verbindet Geometrie mit Analysis. Hier sind die Grundlagen.
Am rechtwinkligen Dreieck
Gegeben: Winkel α, Hypotenuse c, Ankathete b, Gegenkathete a
- **sin(α) = a/c** (Gegenkathete / Hypotenuse)
- **cos(α) = b/c** (Ankathete / Hypotenuse)
- **tan(α) = a/b** (Gegenkathete / Ankathete)
Merkregel: **GAGA HÜHÜ HOHO** - **G**egenkathete through **H**ypotenuse = sin - **A**nkathete through **H**ypotenuse = cos - **G**egenkathete through **A**nkathete = tan
Beispiel: Dreieck mit α = 30° und c = 10 cm: - a = c · sin(30°) = 10 · 0,5 = 5 cm - b = c · cos(30°) = 10 · 0,866 = 8,66 cm
Der Einheitskreis
Am Einheitskreis (Radius = 1): - sin(α) = y-Koordinate - cos(α) = x-Koordinate
**Wichtige Werte:**
| Winkel | sin | cos | tan | |--------|-----|-----|-----| | 0° | 0 | 1 | 0 | | 30° | ½ | ½√3 | ⅓√3 | | 45° | ½√2 | ½√2 | 1 | | 60° | ½√3 | ½ | √3 | | 90° | 1 | 0 | — |
Sinussatz und Kosinussatz
Sinussatz a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)
Anwendung: Wenn du eine Seite und den gegenüberliegenden Winkel kennst.
Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab·cos(γ)
Anwendung: Wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennst.
Arcus-Funktionen (Umkehrung)
- α = arcsin(a/c)
- α = arccos(b/c)
- α = arctan(a/b)
Übungsaufgaben
1. Dreieck: a = 5, c = 13. Berechne α. 2. Dreieck: a = 8, b = 6, γ = 60°. Berechne c.
*Lösungen: 1) α = arcsin(5/13) ≈ 22,6° | 2) c² = 64+36−2·48·0,5 = 52, c ≈ 7,21*