Vektorrechnung ist ein zentrales Thema im Mathe-Abitur. Hier ist alles, was du brauchst.
Grundlagen
Ein Vektor im ℝ³: v = (v₁, v₂, v₃)
**Betrag:** |v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)
**Addition:** (1,2,3) + (4,5,6) = (5,7,9)
**S-Multiplikation:** 3·(1,0,2) = (3,0,6)
Skalarprodukt
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
**Winkel:** cos(α) = (a·b) / (|a|·|b|)
- a·b = 0 → orthogonal (senkrecht)
- a·b > 0 → spitzer Winkel
- a·b < 0 → stumpfer Winkel
Beispiel: a = (1,2,3), b = (4,−2,0) a·b = 4 − 4 + 0 = 0 → **Orthogonal!**
Kreuzprodukt
a × b liefert den Normalenvektor (senkrecht zu beiden).
a × b = (a₂b₃−a₃b₂, a₃b₁−a₁b₃, a₁b₂−a₂b₁)
Geraden
**Parameterform:** g: x = a + t·v - a: Aufpunkt (Stützvektor) - v: Richtungsvektor - t: Parameter
**Schnittwinkel:** Winkel zwischen Richtungsvektoren
**Schnittpunkt:** Gleichungssystem lösen
Ebenen
**Parameterform:** E: x = a + r·u + s·v
**Normalenform:** E: (x − a)·n = 0
**Koordinatenform:** ax + by + cz = d
Abstandsformeln
**Punkt–Ebene:** d = |n·(P−A)| / |n|
**Punkt–Gerade:** d = |(P−A) × v| / |v|
Typische Abitur-Aufgaben
1. Lagebeziehung zweier Geraden (parallel, schneidend, windschief) 2. Schnittwinkel berechnen 3. Spiegelpunkt an Ebene 4. Abstand Punkt–Ebene
Übungsaufgabe
Gegeben: Gerade g: x = (1,0,2) + t·(2,1,−1) und Punkt P(3,1,1) Berechne den Abstand von P zu g.
*Tipp: Nutze die Kreuzprodukt-Formel!*