Wahrscheinlichkeitsrechnung: Grundlagen mit verständlichen Beispielen

Wahrscheinlichkeitsrechnung muss nicht kompliziert sein. Hier sind die Grundlagen.

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Die Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist.

**P(E) = Anzahl günstiger Ergebnisse / Anzahl möglicher Ergebnisse**

Werte: 0 (unmöglich) bis 1 (sicher), oft in %: 0% bis 100%

Laplace-Experiment

Alle Ergebnisse sind **gleich wahrscheinlich**.

Beispiel: Würfeln - P(6) = 1/6 ≈ 16,7% - P(gerade) = 3/6 = 1/2 = 50%

Gegenereignis

**P(Ē) = 1 − P(E)**

Beispiel: P(nicht 6 würfeln) = 1 − 1/6 = 5/6

Mehrstufige Experimente: Baumdiagramm

Bei zwei Würfen: - Erste Stufe: Ergebnis des 1. Wurfs - Zweite Stufe: Ergebnis des 2. Wurfs

Pfadregeln

1. Pfadregel (UND) P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

Bei Unabhängigkeit: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Beispiel: Zweimal 6 würfeln = 1/6 · 1/6 = 1/36

2. Pfadregel (ODER) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Bei disjunkten Ereignissen: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

**P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)**

Die Wahrscheinlichkeit von B, unter der Bedingung, dass A bereits eingetreten ist.

Vierfeldertafel

| | B | ¬B | Σ | |--|---|----|---| | A | P(A∩B) | P(A∩¬B) | P(A) | | ¬A | P(¬A∩B) | P(¬A∩¬B) | P(¬A) | | Σ | P(B) | P(¬B) | 1 |

Bernoulli-Experiment

n Wiederholungen, Wahrscheinlichkeit p: P(X=k) = (n über k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ

Beispiel: 5x würfeln, genau 3x eine 6 = (5 über 3) · (1/6)³ · (5/6)² ≈ 3,2%

Übungsaufgaben

1. Zwei Würfel: Wie groß ist P(Summe = 7)? 2. Eine Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln. Zwei ziehen (ohne Zurücklegen). P(beide rot)?

*Lösungen: 1) 6/36 = 1/6 | 2) 4/10 · 3/9 = 12/90 = 2/15*